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. HISTORIA DEL CALCULO INTEGRAL =Isaac Newton (1642-1727) nacíó el 25 de Diciembre de 1642 según el calendario Juliano, todavía usado por entonces en Inglaterra, o el 4 de Enero de 1643 con respecto a nuestro calendario Gregoriano. Fue profesor de matemáticas en Cambridge y luego jefe de la casa de la moneda =

==Sus principales ideas fueron desarrolladas en 1664-1666 cuando estaba recluido en su casa natal de la aldea de Woolsthorpe, ya que el Trinity College de Cambridge, donde Newton era estudiante, estuvo cerrado por la epidemia de la peste. Alli desarrolló sus ideas de la gravitación universal, de la teoría de los colores y sobre la serie del binomio y el cálculo de fluxiones. ==

media type="youtube" key="J0UcthTamB0" width="425" height="350" align="right"  De entre el trabajo matemático de Newton, profundo y poderoso, se pueden distinguir algunos temas centrales. Estos son los desarrollos en serie de potencias, en especial el desarrollo del binomio, algoritmos para hallar raíces de ecuaciones y de inversión de series, relación inversa entre diferenciación e integración y el concepto de fluentes y fluxiones como variables que cambian en el tiempo. Newton estuvo muy interesado también en óptica, dinámica, alquimia, cronología de la historia y en la interpretación de las sagradas escrituras.

De entre el trabajo matemático de Newton, profundo y poderoso, se pueden distinguir algunos temas centrales. Estos son los desarrollos en serie de potencias, en especial el desarrollo del binomio, algoritmos para hallar raíces de ecuaciones y de inversión de series, relación inversa entre diferenciación e integración y el concepto de fluentes y fluxiones como variables que cambian en el tiempo. Newton estuvo muy interesado también en óptica, dinámica, alquimia, cronología de la historia y en la interpretación de las sagradas escritura s. media type="youtube" key="zFtw1-LUh60" width="425" height="350" align="left"

Las dos acepciones del cálculo (la general y la restringida) arriba definidas están íntimamente ligadas. El cálculo es una actividad natural y primordial en el hombre, que comienza en el mismo momento en que empieza a relacionar unas cosas con otras en un pensamiento o discurso. El cálculo lógico natural como [|razonamiento] es el primer cálculo elemental del ser humano. El cálculo en sentido lógico-matemático aparece cuando se toma conciencia de esta capacidad de razonar y trata de FORMALIZE Por lo tanto, podemos distinguir dos tipos de operaciones:  Resultado que es:CONCLUSION de un proceso de razonamiento.Resultado aplicable directamente a los datos iniciales (resolución de problemas).MODELO: de relaciones previamente establecido como teoría científica y significativo respecto a determinadas realidades (Creación de modelos científicos).Mero juego formal simbólico de fundamentación, creación y aplicación de las reglas que constituyen el sistema formal del algoritmo (Cálculo lógico-matemático, propiamente dicho
 * 1) Operaciones orientadas hacia la consecución de un fin, como prever, programar, conjeturar, estimar, precaver, prevenir, proyectar, configurar, etc. que incluyen en cada caso una serie de complejas actividades y habilidades tanto de pensamiento como de conducta. En su conjunto dichas actividades adquieren la forma de ARGUMENTOI razones que justifican una finalidad práctica o cognoscitiva.
 * 2) Operaciones formales como ALGORITMO que se aplica bien directamente a los datos conocidos o a los esquemas simbólicos de la interpretación lógico-matemática de dichos datos; las posibles CONCLUSIONES, INFERENCIAS o DEDUCCIONES de dicho algoritmo son el resultado de la aplicación de reglas estrictamente establecidas de antemano.

EJEMPLO:

//"La extracción de raíces cuadradas se simplifica con este teorema//

n || AQ+ || m - n 2n || BQ+ || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">m - 2n 3n || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">CQ+ || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">m - 3n 4n || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">DQ+ ||   || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//donde A, B, C, ... son los términos inmediatos que les preceden en el desarrollo".// Expresado de esta forma suena poco familiar, Newton quiere decir que toma //n// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//AQ =// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//m// //n// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//Pm/nQ// ||  || //2n// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//BQ=// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//m-n// //2n// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//(// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//m// //n// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//Pm/nQ// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//)// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//Q =// ||   ||   || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//(// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//m// //n// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//)// ||  || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//(// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//m// //n// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//-1// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//)// ||
 * || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">(P+PQ)m/n=Pm/n+ || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">m
 * ||  ||   ||   || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//A = Pm/n// ||   ||
 * || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//B =// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//m//
 * || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//C =// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//m-n//

//2// || //Pm/nQ2// || || //3n// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//CQ=// ||  ||   || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//m// //n// ||  || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//(// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//m// //n// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//-1// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//)// ||   || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//(// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//m// //n// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//-2// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//)// ||
 * || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//D =// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//m-2n//

//3x2// || //Pm/nQ2// || || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">y así sucesivamente. De esta forma queda //n// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//Q+// ||  ||   ||   || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//m// //n// ||  ||   || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//[// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//m// //n// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//-1// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//]// ||
 * || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//...// ||  ||   ||   ||   ||
 * || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//Pm/n(1+Q)m/n=(P+PQ)m/n=Pm/n// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//(// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//1+// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//m//

//2// || //Q2+// || ||

//n// ||  || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//[// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//m// //n// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//-1// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//]// ||  || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//[// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//m// //n// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//-2// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//]// ||
 * || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//+// ||  || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//m//

//3 x2// || //Q3+// || //)// || || || dividiendo por Pm/n //n// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//Q+// ||   ||   || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//(// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//m// //n// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//)// ||  || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//(// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//m// //n// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//-1// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//)// ||
 * || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//(1+Q)m/n=1+// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//m//

//2// || //Q2+// || || //m// //n// || || //(// || //m// //n// || //-1// || //)// || || //(// || //m// //n// || //-2// || //)// ||

//2x3// || //Q2+// || || que es la expresión más familiar que usamos ahora. Aunque el binomio para enteros positivos era conocido desde hacía tiempo, el interés del descubrimiento de Newton está en que lo usa para exponentes fraccionarios y negativos y en que aparece una suma infinita en vez del desarrollo finito anterior. En nuestra notación actual escribimos comúnmente // S // //n=1// ||  || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//(// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">// a // //n// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//)// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//xn// ||   || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">donde a es un número real cualquiera y los coeficientes binomiales se definen como //n// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//)// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//=// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">// a(a-1) (a- //n// +1) // //n!// ||   ||   || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">Para el caso en que a sea entero positivo sale un desarrollo finito ya que n || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">) || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">= || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">0 || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">para n > // a //, al ser cero uno de los factores del numerador que define el coeficiente binomial. Por ejemplo (1+x)3=1+3x+3x2+x4. ||
 * || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//(1+Q) a =// ||  || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;"> ¥
 * ||  || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">//(// || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">// a //
 * ||  || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">( || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">// a //

Pero en el caso de no ser a entero aparecen series infinitas como 1+x || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">=(1+x)-1=1-x+x2-x3+ ||   ||
 * ||  || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">1

2 || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">- || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">x2 8 || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">+ || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">x3 16 || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">+ ||   || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">Newton escribió casos particulares como éstos en su carta y las usó para el cálculo de raíces cuadradas. Observó por ejemplo obteniendo una gran precisión con sólo unos pocos términos. El avance era considerable. Ahora sabemos que la serie que define (1+x)// a // converge para |x| < 1. Newton no habla de convergencia, pero es consciente de ello y usa cierta intuición en sus cálculos, por ejemplo utilizaba 1+x2 || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">=1-x2+x4-x6+x8- ||   || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">para x pequeños, pero la cambiaba a 1+x2 || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">= || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">1/x2 1+1/x2 || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">= x-2-x-4-x-6-x-8+ ||   || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">para x grandes.
 * ||  ||   || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">[[image:http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/histmatem/calculo/raiz.gif width="49" height="17"]] || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">=(1+x)1/2=1+ || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">x
 * || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">y= || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">1
 * || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">y= || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">1

Esta monografía circular de 1669 que mandó Newton a sus amigos y que fue publicado mucho después en latín en 1711 contiene ya las ideas esenciales del cálculo de Newton. Empieza dando unas reglas para calcular cuadraturas tal como se ve en en la imagen de la primera página de esta publicación m+n || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">x(m+n)/n= Areae ABD. ||  ||
 * || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;"> REGULAI. Si ax m/n=y; E rit || <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">an

**<span style="color: #000000; font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">Instrumentos de calculo de la época pre-informatica ** [|**AQUI**] || [|AQUI] ** || [|AQUI] ** || <span style="display: block; font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif; text-align: left;">Los hombres han utilizado desde tiempos remotos tablas para ayudarse en la solución de sus cálculos. Las tablas mas conocidas y populares son las: Tablas de logaritmos Tablas trigonométricas <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">Tablas náuticas <span style="display: block; font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif; text-align: left;">Pero las mas antiguas son las tablas aritméticas (sumar, multiplicar,..) nacidas por la necesidad de memorizar conocimientos útiles para las actividades humanas. Demos un paseo por la Historia: <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">Los arqueólogos consideran que los grupos de puntos que se ven en algunas pinturas rupestres constituyeron tablas (¿de qué?) no saben... <span style="display: block; font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif; text-align: center;">**Cuerno de reno entallado (memorización de cantidades) (15000 años antes JC)** <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">Se han encontrado tabletas de arcilla con inscripciones de tablas de multiplicar principalmente; utilizaban la numeración sexagesimal de base 60. Otros tipos de tablas ( de inversos, cuadrados, cubos ) también han sido encontradas pero en menor cantidad Estas tablas les ayudaban a resolver, sobre todo, problemas de catastro. <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">El papiro llamado “de RHIND” descubierto en Tebas (1858), contiene 87 problemas, con las soluciones, de aritmética, álgebra, geometría.......mide 5 m y tiene 32 cm de ancho. Este papiro nos indica el nivel de matemáticas alcanzado por los antiguos egipcios. Los problemas que tenían que resolver eran puramente prácticos, por ejemplo tener que recalcular los terrenos que habían estado inundados durante las crecidas anuales del Nilo. <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">Basta con citar Pitágoras y su tabla de multiplicar para recordar la importancia del cálculo en el mundo griego. <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">Debido a que los cálculos se efectuaban con ábacos no había necesidad de tablas que memorizaran resultados, sin olvidar que hasta la aparición de la imprenta pocos escritos circulaban, lo poco conservado de esta época es un tabla de multiplicar del siglo XII (con cifras romanas) y 2 tablas conservadas en el Museo de Munich. <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">La aparición de la imprenta facilita la difusión de tablas de multiplicar, tablas para calcular los impuestos, etc..., destaquemos un manual de aritmética de Pierre Savonne publicado en Lyón (Francia) en 1598 conteniendo tablas de conversión entre medidas de aquella época. El personaje clave es François BARREME (1634-1703) que editó por primera vez en 1669 un manual de “cuentas hechas”; su hijo continuó su obra; estos manuales han sido re-editados muchísimas veces, la palabra “baremo” es originaria de este apellido BARREME; eran muy populares y en su forma de bolsillo utilizado por los mercaderes en las ferias, mercados de pueblo, etc. Los mas interesantes son los anteriores al sistema métrico, las tablas daban el resultado directo del valor de 1 a 100 “cosas” por el precio de la “cosa” (en estas tablas el precio cubría todos los valores posibles de la moneda en uso con sus múltiplos y sub múltiplos..). La “cosa” podía ser un día de trabajo, una arroba, cualquier medida... Intentar calcular el precio de 5 varas y 39 pies de tela sabiendo que la vara cuesta 2 ducados con 23 maravedis..... El libro de Barreme te daría la solución directa (o casi...):
 * [|**AQUI**] **se puede ver/bajar la presentación en formato PDF**
 * **<span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">[|AQUI] se puede ver/bajar el trabajo original en formato PowerPoint PPS
 * **<span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">[|AQUI] se puede bajar la presentación en formato Flash SWF
 * <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif; font-size: 80%;">**LAS TABLAS DE CALCULO**
 * <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">Prehistoria **(25000 años antes JC)**
 * <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">Mesopotamia (**3000 años antes JC)**
 * <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">Egipto (3000 años antes JC)
 * <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">Grecia (300 años antes JC)
 * China:** Existencia de tablas a partir del siglo IV, en particular tablas para cálculos de Astronomía.
 * Mundo Islámico (Edad Media):** Tablas para determinar las horas de oración (5 al día) que cambian según el lugar y la época del año; también crearon tablas de navegación.
 * <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">EUROPA ( de la Edad Media al siglo XVI )
 * <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">Europa ( Epoca Moderna )

1 Vara 3 Pies 1 Doblón 4 Pesos Secillos ó Duros 1 Peso sencillo 15 Reales de Vellón 1 Ducado 11 Reales de Vellón 1 Real de Vellón 34 Maravedíes 1 Décima 3´4 Maravedíes 1 Cuarto 4 Maravedíes de Vellón 1 Cuarto 20 Ochavos 1 Ochavo 2 Maravadíes

Cuando se impuso el sistema métrico aparecieron tablas de conversión entre las unidades “antiguas” y las métricas, este tipo de manual fue muy popular y usado durante casi un siglo; El “Libro de cuentas ajustadas” de Barreme se siguió editando con valores métricos únicamente, este libro fue plagiado abundantemente........ Tablas, calculadores, libros de “cuentas ajustadas” han proliferado durante todo el siglo XIX y XX en todos los países y sobre todo tipo de cálculo : sueldos, precios, intereses, tarifas, tablas de multiplicar para comerciantes,...etc.. El ultimo ejemplo reciente sería las tablas (forma tarjeta de crédito) para convertir las pesetas en euros e inversamente.



<span style="display: block; font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif; text-align: center;">Pickett´s [|N16-ES]

En el espacio:[|Pickett N600-ES] Dual Base Log-Log, utilizada en las misiones Apolo



<span style="display: block; font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif; text-align: center;"> También llamadas "Fligt Computer", aun muy utilizadas en la actualidad como ayuda para la navegación.
 * En la Aviación:**



<span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">**ORIGEN DE LA INTEGRAL** <span style="display: block; font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif; text-align: justify;">El origen de la integral definida se remonta a la época de Arquimedes (277-212 a.C.), matemático griego de la antigüedad que obtuvo resultados importantes en el cálculo de áreas limitadas por curvas. El proceso seguido en la definición de integral definida es, en esencia, el mismo que utilizó Arquímedes: dada una región del plano, su área puede calcularse por medio de regiones poligonales inscritas o circunscritas a la misma, tales que al aumentar el número de lados, el área de estos polígonos tiende a aproximarse al área pedida. La integral definida es una generalización práctica y sutil de este proceso. Los griegos ya consiguieron resolver algunos problemas relativos a áreas, actualmente asociados a las integrales definidas de las funciones //x// y //x//2.

El cálculo efectivo en cada uno de ellos dependía de algún procedimiento ingenioso, especialmente diseñado para ese problema particular. El método arquimediano de aproximación ha adquirido nuevamente importancia ya que el cálculo de las integrales definidas puede hacerse con los ordenadores actuales con tanta precisión como deseemos. Esto es útil cuando el cálculo de una primitiva resulta imposible o muy difícil y para la mayoría de las aplicaciones científicas es más que suficiente El Yenri, o principio del círculo, es la primera forma de cálculo infinitesimal desarrollada en Japón. Se atribuye tradicionalmente a Seki Kowa, un matemático del siglo XVII. Un dibujo, fechado en 1670, da la superficie del círculo a partir de la suma de una serie de rectángulos inscritos en él. <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif;">La derivada apareció veinte siglos después de que Arquímedes sentara las bases del cálculo de áreas y para resolver otros problemas que en principio no tenían nada en común con la integral definida. El descubrimiento más importante del cálculo diferencial e integral creado por Barrow, Newton y Leibniz es la íntima relación entre la función derivada y la integral definida. Una vez conocida la conexión entre derivada e integral (teorema de Barrow), el cálculo de integrales definidas se hace tan sencillo como el de las derivadas.

INTEGRAL DEFINIDA ** El cálculo de la integral definida, cuyo estudio iniciamos en este capítulo, se apoya en el conocimiento de la integral indefinida, herramienta asociada tradicionalmente al cálculo diferencial. El origen del cálculo integral se remonta a la época de Arquímedes( 287-212 a C.), matemático griego de la antigüedad, que obtuvo resultados tan importantes como el valor del área encerrada por un segmento parabólico. La derivada apareció veinte siglos después para resolver otros problemas que en principio no tenían nada en común con el cálculo integral.El descubrimiento más importante del cálculo infinitesimal ( creado por Barrow, Newton y Leibniz ) es la íntima relación entre la derivada y la integral definida, a pesar de haber seguido caminos diferentes durante veinte siglos. Una vez conocida la conexión entre derivada e integral( Teorema de Barrow), el cálculo de integrales definidas se hace tan sencillo como el de las derivadas. De este modo se justifica el tiempo empleado en hallar primitivas. La idea que vamos a tener en cuenta en esta parte para llegar al concepto de integral definida es la misma que en esencia utilizó Arquímedes: dada una región del plano, su área puede calcularse por medio de regiones poligonales inscritas o circunscritas a la misma, tales que al aumentar el número de lados, el área de estos polígonos tiende a aproximarse al área de la pedida. La integral definida es una generalización práctica y sutil de este proceso. Los griegos ya consiguieron resolver algunos problemas relativos a áreas, actualmente asociados a las integrales definidas de las funciones afines y cuadráticas. El calculo efectivo en cada uno de ellos dependía de algún proceso ingenioso, especialmente diseñado para ese problema particular. El método arquimediano de aproximación ha adquirido nuevamente importancia, ya que el cálculo de las integrales definidas puede hacerse con los ordenadores actuales con tanta precisión como deseemos.

media type="youtube" key="3Ylom1R5RwI" width="425" height="350" **Arquimedes de Siracusa** (287 - 212 ANE) resolvió los primeros problemas relativos al (hoy llamado) cálculo integral. En particular, halló el centro de gravedad de un paralelogramo, un triángulo y un trapecio; y de un segmento de parábola. Calculó el área de un segmento de parábola, cortado por una cuerda. Demostró que (a) la superficie de una esfera es 4 veces la de su círculo máximo; (b) el volumen de una esfera es 2/3 del volumen del cilindro circunscripto; (c) la superficie de una esfera es 2/3 de la superficie de este cilindro, incluyendo sus bases. Resolvió el problema de como intersectar una esfera con un plano, de forma de obtenter una proporción dada entre los volúmenes resultantes.

Tecnicas de sustitución